МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА»
АНАЛІЗ ПЕРЕХІДНОГО ПРОЦЕСУ
В ЛІНІЙНОМУ ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ
комплексна контрольна робота з дисципліни
“Теорія електричних кіл”
Варіант 4
Завдання до розрахунку
Схема (рис.1, а) з параметрами елементів R1 = 100 Ом, R2 = 27кОм R3 = 30 кОм, С = 40 мкФ, L = 2 мГн вмикається на вхідний сигнал трапецієвидної форми (рис. 1,б) Um=10 В, tс=20 мс. Початкові значення напруг конденсаторів та струмів котушок індуктивностей приймаються такими, що дорівнюють нулю: uC(0-) = 0; іL(0-) = 0.
Розрахувати напругу uL(t).
а) б)
Рис. 1. Розрахункова схема а), часова діаграма дії б)
Характер зміни напруги uL(t) визначає два моменти комутації: перший – в момент часу t=0 та другий – tс. Відповідно вихідна величина повинна мати свої аналітичні вирази між цими точками часу. Тому знаходження вихідної величини проводиться в два етапи: спочатку на часовому інтервалі 0+ ≤ t ≤ tc- з відомими початковими умовами, потім на інтервалі tc+ ≤ t < ∞ з початковими умовами, що визначаються значеннями змінних стану під час другої комутації.
Знаходження величини струму uL(t) класичним методом.
В електричному колі присутні два реактивні елементи, координати яких (напруги на конденсаторах та струми котушок індуктивностей) за законами комутації не можуть змінюватися стрибком, що змушує обчислювати значення цих змінних у момент комутації. Отже, необхідно сформувати систему диференціальних рівнянь стану, невідомими величинами якої є напруги на конденсаторах та струми котушок індуктивностей, визначивши похідні, а саме струми конденсаторів та напруги котушок індуктивності з вузлових і контурних рівнянь:
і1 – і2 –і3 = 0;
uL(t) + uC(t) + i3 R3 + i1 R1 = e(t); (1)
uC(t) + i1 R1 + i2 R2 = e(t).
Вхідна напруга задається виразом
kt + U0 = (500t + 0) В = 500t B, якщо 0+ ≤ t ≤ tc-
e(t)=
0, якщо tc+ ≤ t,
де k = (Um – U0)/tc = (10-0)/0.02 = 500 В/с
Для розв’язання системи (1) зведемо її до рівняння відносно однієї змінної – напруги uL(t). Для цього про диференціюємо друге рівняння системи (1):
ДО ЦЬОГО МІСЦЯ НІБИ ВІРНО ДАЛІ В ЗОШИТІ
.
Далі в перше рівняння системи (1) підставляємо значення і2
і3 = і1 – і2 = .
Підставивши в друге рівняння системи (1) значення і3, здобудемо підсумкове диференціальне рівняння для струму і1(t):
;
;
(2)
Записуємо характеристичне рівняння диференціального рівняння (2):
аλ2 + bλ +с = 0, (3)
де а = R1LC; b = R1R3C + L; c = R1 + R3.
Перевіримо характеристичне рівняння, прирівнявши до нуля вираз для Zвх із заміною jω на λ:
Zпар = ,
(4)
Ліві частини рівнянь (3) і (4) тотожні, отже рівняння складені вірно.
Знаходимо коефіцієнти характеристичного рівняння в числовому вигляді:
a = R1LC = 100 ∙2∙10 -3 ∙40∙10 -6 = 8∙10 -6;
b = R1R3C +L = 100∙30∙10 3 ∙40∙10 -6 + 2*10 -3 = 120,002;
c = R1 + R3 = 30,1∙10 3.
Розв’язок повного неприведеного квадратного рівняння:
λ1,2 = {-250; -15∙106} 1/с.
Загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (2):
(5)
де – загальний розв’язок однорідного рівняння, який визначається типом характеристичних коренів;
– частковий розв’язок неоднорідного рівняння.
На першому кроці визначаємо коефіцієнти часткового розв’язку К0 та К1 в усталеному режимі, коли t→ ∞ і загальним розв’язком однорідного рівняння
можемо нехтувати. Враховуючи, що
,
після підстановки часткового розв’язку в основне рівняння (2) отримуємо поліном
.
Після упорядкування
.
Прирівнюємо до нуля обидві складові полінома
.
.
.
На другому етапі з початкових умов визначаємо коефіцієнти загального розв’язку.
.
З третього рівняння системи (1)
.
За законом комутації uC ( 0+ ) = uC ( 0- ) = 0.
; івм ( 0+ )=15,6 мА;
А1 + А2 = ( -90 - 15,6 )10-3 = - 105,6∙10-3; А2 = - А1 - 0,1056.
Про диференціюємо (5) і для моменту t(0+ ) отримаємо:
; ;
; .
; .
.
.
Отже, між першою та другою комутаціями на проміжку 0+ ≤ t ≤ tc- струм і1(t) змінюється за таким законом:
(7)
Після другої комута...
